2014年昆明烟草专卖局（烟草公司）行政能力测试之数学运算上答题技巧

四．时钟问题
1.时针与分针
分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。
 
例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 /  11/12 分钟的时间。

例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60 / 11/12 ＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。

2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格 
例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。

3.时针与秒针
时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。 
例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次? 
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。

4.成角度问题
例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？
 
析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。 

5.相遇问题 
例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？ 
析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。 

例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？ 
析：
  
只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。 

五．方阵问题

1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4 
3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625
例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

析：设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4.
8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)
求出Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260

例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
析：最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40
应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144

六．几何问题

1.公式
三角形面积：s=ah/2
矩形（平行四边形）面积：s=ab
梯形面积：s=(a+b)h/2
圆形面积：s=
扇形面积：s=n /360
椭圆面积：s=ab
球表面积：s=4
圆柱表面积：s=2 r(h+r)
球体积：v=4 /3
圆柱体积：v= h
圆锥体积：v= h/3
锥形体积：v=sh/3

 
补：扇形面积＝1/2*r*l    其中r为半径，l为弧长。

2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。
 
 
图1中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD
图2中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高，相似得到)

例： 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？
 
Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4 

例：　例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？
  
Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd
同理Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd
则Sabcd=30/(2+2+1)=6

3.圆分割平面公式
公式为：N^2-N+2,其中N为圆的个数。
一个圆能把平面分成两个区域，两个圆能把平面分成四个区域，问四个圆能最多把平面分成多少个区域？(4^2-4+2 )

4.最大和最小
（1）等面积的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。
（2）等周长的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大。
以上两条定理是等价的。
（3）等体积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其表面积越小。
（4）等表面积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其体积越大。
以上两条定理是等价的。 

例：相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是:
A 四面体  B 六面体  C 正十二面体  D 正二十面体 
析：显然，正二十面体最接近球体，则体积最大。 

5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（    ） 
A．长25厘米、宽17厘米            B．长26厘米、宽14厘米
C．长24厘米、宽21厘米            D．长24厘米、宽14厘米 
析：这种题型首先的思路应该是，先算盒子的总面积=2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了C其它都小于432。

七．比例问题、十字相乘法与浓度问题

1.十字相乘法 
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。则C为1。 
得式子，A*X+B*(1-X)＝C*1 
整理得X=C-B / A-B   1-X=A-C / A-B 
则有X : (1-X)=C-B / A-C 
计算过程写为

X        A          C-B       

：  ＝         C 

1-X      B          A-C         (一般大的写上面A, 小的B。) 

例：某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 
析：一个集合（教练员和运动员的男性），只有2个不同的取值，部分个体取值（90%）,剩余部分取值为82%，平均值为82%。 
教练员   90%         2%          
              82%                 = 1:4 
运动员   80%         8%           

例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是： 
析：男生平均分X，女生1.2X 
1.2X         75-X        1 
       75            = 
X           1.2X-75     1.8 
得X=70 女生为84

融大教育
 
2.浓度问题
溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量
浓度＝溶质的质量 / 溶液质量
浓度又称为溶质的质量分数。

关于稀释，加浓，配制。其中混合后的浓度为P.
稀释，一溶液加水，相当于a克P1%的溶液，和b克0%的溶液配制。
P1           P        a 
       P
0            P1-P      b

加浓，相当于a克p1%的溶液，和b克100%的溶液配制。
P1          P-100    a 
       P
100         P1-P     b

配制则是a克P1%的溶液，和b克P2%的溶液配制。
可列以下十字相乘：
P1        P-P2      a 
     P
P2        P1-P      b 

注：有些题不用十字相乘法更简单。

融大教育 

例：有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需加盐多少千克？
析：
15            80       20 
       20
100           5        b

80/5=20/b 得b=1.25g 

例：从装满100g浓度为80％的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）
A.17.28%    B.28.8%      C.11.52%    D.48% 
析：开始时，溶质为80克。第一次倒出40g，再加清水倒满，倒出了盐80*40%，此时还剩盐80*60%。同理，第二次，剩80*60%*60%。第三次，乘80*60%^3=17.28g，即浓度为17.28% 

特例：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？ 
析：设甲浓度P1,乙浓度P2。混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水为a 
则对于甲 
P1       P-P2      120-a 
       P 
P2       P1-P      a 

对于乙 
P2         P-P1      80-a 
      P          
P1         P2-P      a

则120-a       a 
     :       =      : 
   a             80-a 
得a=120*80 / 120+80 

一般地，对于质量为m1,m2的溶液，也有a=m1*m2  /  (m1+m2)  

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